RSS

>Ara Değer Hesabı – En Küçük Kareler Yöntemi(Least Square Method)

19 Aug

>Merhabalar;
En küçük kareler yöntemi (Xi,Yi) i=0,1,2... noktalarının birikme gösterdiği noktalardan geçen bir fonksiyonun bulunması yöntemidir.

Bulunan fonksiyon çoğu noktayı sağlamayacaktır ancak noktaların bulunabileceği bir sonraki adımı hesaplayabilir.EKK problemi dolayısıyla aslında bir optimizasyon problemidir.
Elimizdeki her (Xi,Yi) için;
y = A0 + A1 X1 + ... + An Xin geçerlidir.
y'yi karşıya atarsak;
0£(Ya da ³) A0 + A1 X1 + ... + An Xin - Yi haline gelir
Her tarafın karesini alırsak;
0£(A0 + A1X1 + ... + AnXin - Yi)2 haline gelir.
Noktalar bütün fonksiyonu sağlamayacağı için 0'dan farklı değerler gelecektir.Bizim amacımız bu farkın en küçük olmasını sağlamak.
Her nokta için aynı işlem yapılır ve bu farklar toplanırsa elimizde şöyle bir fonksiyon olur;
H(A0,A1,A2..An) = Σ (A0+A1X1+..+AnXin)2
Toplamını 0'a eşitleyip her katsayı için ayrı ayrı türevler alınırsa elimize katsayıların çözümü için bir lineer sistem gelir.
dH / dA0 = 0
dH / dA1 = 0
.
.
dH / dAn = 0
Son olarak lineer sistemimizi kurar ve katsayıları bulur yerine koyarız.Böylece fonksiyonumuzu elde ederiz.
Bir örnek çözelim.

Örnek:(1,3.0),(2,5.2),(3,8.0) noktalarından geçen en uygun doğruyu bulun.
Soruda noktaların bir doğru etrafında toplandığı verilmiş.
En uygun doğrumuz y = Ax + b olsun
H(A,B) = (A*X0 + B – Y0)2 +(A*X1 + B – Y1)2 +(A*X2 + B – Y2)2
H(A,B) = (A+B -3)2 + (2A+B-5.2)2 + (3A+B-8)2

dH / dA = 28A+12B – 74.8 = 0
dH/dB=12A+6B-32.4=0
Bu denklem sistemini çözdüğümüzde A=2.5 B=0.4 geliyor.
En uygun doğrumuz y = Ax + B idi.
Yerine koyarsak y = 2.5A + 0.4 sorumuzun cevabı olur.

Herkese kolay gelsin =)

 
 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: